Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática. DANIEL NUNES
Em matemática, uma reta é um objeto geométrico infinito a uma dimensão. Pode ser definida de várias formas equivalentes. Em Geometria Descritiva uma reta é o resultado da deslocação de um ponto segundo uma determinada lei.
Uma curiosidade é que, no texto original de Os Elementos, de Euclides, fala-se de segmentos de reta e não de retas.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Uma semirreta \overrightarrow{OA},, também denotada por \dot{O}A\,\! ou [OA)\;\!, é o conjunto dos pontos P da reta OA tais que O não está entre P e A. Semirreta
Ao fixar-se um ponto sobre uma reta, esse ponto a divide em duas partes iguais, transformando-a em duas semirretas de mesma origem e sentidos opostos.
Uma reta no plano pode ser descrita das seguintes formas:
dando dois pontos da reta; dando um ponto da reta e o seu declive; dando um ponto da reta e um vetor normal a essa reta; dando um ponto e um vetor da reta.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto(A, G, P,. . . ). Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em seqüência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. LKS´S HUT´Z
Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s. LKS´S HUT´Z
A geometria pelo que eu entendi é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
alternos alternos internos 3 e 6 4 e 5 alternos externos 1 e 8 2 e 7 colaterais colaterais internos 3 e 5 4 e 6 colaterais externos 1 e 7 2 e 8
Propriedades das retas tranversais
Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas. Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes. Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2. Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.
Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou suplementares.
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. Tem continuação termino la em ksaa..
# Ponto, Reta e Plano são elementos primitivos da geometria. # Ponto - representado por letra maiúscula : A,B,C,....... # Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,..... # Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama....... # Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Por um único ponto passam infinitas retas.Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Pelo q eu entendi a influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.
Por um único ponto passam infinitas retas.Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos. luiz nilson 9 1
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Por um ponto passam várias retas. Dois pontos distintos determinam uma reta. Três pontos distintos e não colineares determinam um plano.Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta.
Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria.Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois Semi-retas Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas. T não pertence a reta s.
Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s. Semi-retas Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
Segmentos de Reta: Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes. Segmentos Consecutivos Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
Segmentos Colineares Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. Segmentos Congruentes Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência. Segmentos Adjacentes Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto - Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z).
Reta - Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
Plano-Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta)e como a reta o plano também é infinito.
Fórmula de Bháskara
A forma de baskara é usada para resolver, descobrir a raiz de uma equação de segundo grau, antes, ate o século 16, não era usada nenhuma fórmula para descobrir a raiz, até que veio essa fórmula, uma fórmula que não pode ser considerada complicada pelos estudantes de ensino médio.
Essa formula começou com François Viete, um francês que viveu de 1540 a 1603, esse francês ajudou muitas pessoas até hoje, pois essa formula simplifica muito para conseguir achar a raiz de uma equação do segundo grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo à fatora-lo num quadrado perfeito ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a , 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0, agora somamos b2 aos dois lados da igualdade 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 —> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac –> (2ax + b) 2 = b2 – 4ac 2ax + b = B elevado a 2, menos 4ac –> 2ax = – b elevado a 2, menos 4ac x é igual menos b, mais o menos raiz quadrada de b elevado a 2, menos 4ac, divido por 2a.
Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... ►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor. Como a reta o plano também é infinito.
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação
a
b
c
x²+2x+1
1
2
1
5x-2x²-1
-2
5
-1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. (Muito interessante k')Tchau galerinha ;D
Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Vou falar aqui de quatro conceitos que considero essenciais no estudo da Geometria. São eles:
Ponto Reta Plano Espaço
Estes quatro conceitos são considerados “primitivos”, pois não possuem uma definição rigorosa mas são facilmente compreendidos, além de serem a base para o estudo da Geometria. 1. PONTO
Um ponto, matematicamente falando, é adimensional, ou seja, não possui dimensão. O que significa que não pode ser medido (dimensionado). Em Geometria Plana é comum apenas nomearmos os pontos com letras maiúsculas. Em Geometria Analítica, além de nomeá-los, também é comum localizarmos a posição dos pontos em um plano ou no espaço. 2. RETA
Uma reta pode ser considerada como um conjunto infinito de pontos alinhados. Uma reta é unidimensional (1D), isto é, possui uma dimensão (o comprimento). Uma reta determina uma direção e, nessa, direção, dois sentidos. Uma reta é infinita nos dois sentidos de sua direção. Por isso é comum trabalharmos mais com segmentos de reta que com retas propriamente ditas. Um segmento de reta é finito, isto é, tem começo, meio e fim! O começo e o fim de um segmento de reta são determinados por dois pontos. 3. PLANO
Um plano pode ser considerado como um conjunto infinito de retas não coincidentes, paralelas e postas lado a lado. Um plano é bidimensional (2D), ou seja, possui duas dimensões (o comprimento e a largura). Em um plano podem ser determinadas infinitas direções e, em cada uma delas, dois sentidos. Um plano é infinito nos dois sentidos de todas as direções contidas nele. Por isso é comum trabalharmos mais com regiões planas que com planos propriamente ditos. Essas regiões são delimitadas e comumente chamadas de figuras planas. Triângulos, retângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, trapézios, losangos, paralelogramos e círculos são alguns exemplos mais conhecidos que são estudados na Geometria Plana (aliás é por isso que ela é chamada de plana!). 4. ESPAÇO
O espaço pode ser considerado como um conjunto infinito de planos não coincidentes, paralelos e sobrepostos. O espaço é tridimensional (3D), isto é, possui três dimensões (o comprimento, a largura e a altura). No espaço podem ser determinadas infinitas direções e, em cada uma delas, dois sentidos. O espaço é infinito em todas as direções e em todos os sentidos existentes. É no espaço que podemos identificar e localizar os pontos, os planos e as retas. Estudamos o espaço em Geometria Analítica, geralmente com vetores de três coordenadas, uma para cada dimensão! Também estudamos porções limitadas do espaço em Geometria Espacial (aliás é por isso que ela é chamada de espacial!), quando estudamos os sólidos, notadamente os cilindros, os cones, as esferas, os prismas e as pirâmides!
Enfim, o espaço é o lugar onde tudo o que conhecemos existe! Não apenas as abstrações matemáticas, mas o nosso mundo real.
Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
ara formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
geovannia pinheiro 9:2 principios basicos da geometria Relação entre: ponto, reta e plano. Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
RESUMO A Geometria, surgida na Antigüidade por necessidades da vida cotidiana, é hoje estruturada no currículo educacional na disciplina de Matemática. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e representa um poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza. Com os objetivos de despertar no aluno o interesse pelo conhecimento geométrico, desenvolver e melhorar habilidades matemáticas relacionadas a situações do dia-a-dia, neste trabalho foi proposta uma metodologia diferenciada para o ensino-aprendizagem de Geometria no Ensino Médio utilizando como recurso a experimentação. As estratégias de ação incluíram o uso de laboratório, vídeos, instrumentos de medida e materiais manipuláveis.
Ian keply 9º ano ll A Fórmula de Bhaskara O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : • Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos • Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. • Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau. ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a , 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac 2ax + b = --> 2ax = - b x
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
formula de blaskara 9ano 2 As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema. A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1] A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra. Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, e ai galera tuhdu blz
• Ponto - representado por letra maiúscula : A,B,C,....... • Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,..... • Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama....... • Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.
Postulados: são afirmações que nós não podemos demonstrar.
Utilizando uma imagem do senso comum poderá dizer-se que um plano se assemelha a uma folha (de papel ou outro material) de dimensão infinita e sem qualquer espessura. Plano ou superfície plana é uma superfície regrada não fechada (ilimitada), que pode ser gerada por meio do movimento de um elemento gerador (uma reta geratriz) que se apoia constantemente sobre um elemento diretor (uma reta diretriz). Esse movimento é feito de forma que a reta geratriz se desloque sempre paralelamente a si mesma, dando assim origem ao plano ou superfície plana. Outra forma rigorosa de o definir é o conjunto de pontos cuja propriedade característica é o conter a reta definida por dois quaisquer dos seus pontos Em termos concretos, um plano pode ser determinado por três pontos não colineares (não existe qualquer linha reta que os contenha em simultâneo) ou por duas retas secantes, ou por duas retas paralelas, ou ainda por uma reta e um ponto exterior a essa reta. Supondo, por exemplo, o caso da definição de um plano por três pontos não colineares, não é difícil imaginar esses pontos fixos algures no espaço. Se supusermos que pegamos numa folha de papel de dimensão infinita e a "obrigamos" a passar por dois dos três pontos considerados, a folha poderá ficar em várias posições, uma vez que pode rodar em torno de um eixo que é a linha reta que contém esses dois pontos. Mas, se a "obrigarmos" a passar também pelo terceiro ponto, então, a partir desse momento, a folha fixa-se numa determinada posição que é única (a folha pode apenas deslizar lateralmente mas, uma vez que tem dimensão infinita, esse deslocamento não corresponde a qualquer nova posição), pelo que os três pontos determinam um e um só plano. De forma semelhante se pode mostrar que também duas retas, paralelas ou secantes, ou então uma reta e um ponto exterior a ela definem um e um só plano.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade de cada teorema.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas. Aspectos históricos. Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos. Elementos e figuras geométricas A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais. Polígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria: Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ... Reta: fio esticado, lados de um quadro, ... Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas; Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas; Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas. Aspectos históricos. Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos. Elementos e figuras geométricas
Eu gostei pôr de + do seu blog parabéns vc só precisa ser um pouco mais legal e sincero com seus alunos mais mesmo assim vc é e continuará sendo um dos meus melhores professores bjs;;;
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Suplementares: Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.
Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando os dois ângulos são: agudos, retos ou obtusos. Suplementares: Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.
Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.
Calcular a medida do ângulo x. Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.
Calcular a medida do ângulo x. Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes. A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais. Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b: Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:
onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados. Quadriláteros e polígonos regulares. Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois. Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos). Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolCoeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja:
m = tg
EQUAÇÃO DA RETA
Equação geral da reta
Toda reta do plano possui uma equação da forma:
ax + by + c = 0
na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.
Exemplos:
a) – 5x + 3y - 1 = 0
b) 9x – 4y – 13 = 0
Equação reduzida da reta
É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação).
Exemplos:
a) y = 8x – 10
Coeficiente angular = 8
Coeficiente linear = - 10
b) y = – 4x + 12
Coeficiente angular = – 4
Coeficiente linear = 12
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA
Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula:
Importante: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma:
Coeficiente angular Equação da reta
2 valores para o y. O valor do m.
2 valores para o n. 1 valor para o n.
1 valor para o x.
Aplicação
Determine a equação da reta que passa pelos A (4, 12) e B (0, 4)
Solução:
1.º passo (cálculo do m – 2 valores para o y e 2 para o x):
2.º passo (equação da reta – o valor do m, 1 valor de y e um valor de x):, ongada nos dois sentidos.
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.
Ela prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo rÉ considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.
Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências. Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.
Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:elações com os acontecimentos
Ponto, Reta e Plano Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria: Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas; Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas; Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".
Pontos Colineares e semi-retas Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Ponto, Reta e Plano são elementos primitivos da geometria. Ponto - representado por letra maiúscula : A,B,C,....... Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,..... Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama....... Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.Postulados: são afirmações que nós não podemos demonstrar.Colinear: na mesma reta/ Coplanar: no mesmo plano
________________________________________ Pontos Colineares e semi-retas Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado.
A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente. ________________________________________ Segmentos de Reta: Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. AB e BC são consecutivos MN e NP são consecutivos EF e GH não são consecutivos
Segmentos Colineares Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. AB e CD são colineares MN e NP são colineares EF e FG não são colineares
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações: Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares
Os segmentos de reta EF e FG são consecutivos, mas não são colineares
Segmentos Congruentes Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência. Segmentos Adjacentes Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos comum.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes. A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais. Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b: Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:
onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados. Quadriláteros e polígonos regulares. Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois. Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos). Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
PONTO : Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z).
RETA:
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
PLANO : Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
Revista do Professor de Mateámtica - nº 39
Linha do Tempo Página Principal
Como chegar na fórmula de resolução da equação de 2º
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
► Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
► Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
► Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
╚> Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a , 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac 2ax + b = --> 2ax = - b x
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β A FÓRMULA DE BHASKARA :
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a , 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac 2ax + b = --> 2ax = - b x Terça-feira, 10 Maio, 2011
A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema. A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1] A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra. Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra,
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
A Geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos, segundo o historiador grego Heródoto (séc.v a.c. ). Contudo, é certo que civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, da Babilónia à China, passando pelas civilizações Hindu.
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano
As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas; Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas; Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais. Polígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices. Polígono é uma linha fechada, isto é, divide o plano em duas regiões, uma interior e outra exterior ao polígono. A diferença entre elas é que qualquer semi-reta cuja origem seja um ponto na região interior corta pelo menos um lado do polígono, o que não acontece necessariamente se o ponto estiver na região exterior. Em função do número de lados (ou ângulos), os polígonos classificam-se em triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos etc. Triângulos. Os polígonos de três lados recebem o nome de triângulos. Podem ser eqüiláteros (quando os três lados são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento), isósceles (dois lados iguais) ou escalenos (três lados desiguais). De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos dividem-se em acutângulos (se todos os ângulos são menores que 90o), retângulos (se um dos ângulos é reto, ou seja, igual a 90°) e obtusângulos (se um de seus ângulos é maior que 90°). Os três ângulos de um triângulo somam sempre 180°. NÃO FIQUEM INTEDIADOS
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:
2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.
Raízes ou zero da função do 2º Grau Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara.
O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (∆), observe as condições a seguir:
∆ > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas. ∆ = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real. ∆ < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real.
Exemplos 1 x² – 5x + 6 = 0 ∆ = b² – 4ac ∆ = (– 5)² – 4 * 1 * 6 ∆ = 25 – 24 ∆ = 1 Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Retas perpendiculares Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação ab para indicar que as retas a e b são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Como usar o Ciclo Trigonométrico Postado por fernandohrosa em dez 12, 2008 em Matemática Tags: Ensino Médio, trigonometria, vestibular | 53 comentários O Ciclo Trigonométrico é uma maneira de se representar graficamente as relações de seno, cosseno e tangente. O ciclo está dividido em 360 graus (ou 2π radianos). (Veja também: Ciclo Trigonométrico). Radiano é a medida padrão para arcos ou ângulos. Na maioria das vezes em respostas à questões de vestibulares, você só encontrará as alternativas em radianos, então é importante se conhecer e saber converter de graus para radianos e vice-versa.
Um radiano (1 rad) é um arco de medida igual ao do raio de um dado círculo. O número que expressa a relação arco/radiano é o famoso π. Em 180 graus (meio ciclo) cabem 3,1415926… arcos radianos, o que equivale dizer que 180º = π radianos (Em graus 1 radiano equivale a mais ou menos 57º).
A partir dessa relação, com uma regra de três simples, é possível se chegar aos equivalentes em radianos de qualquer grau. Exemplo: converter 300º para radianos:
180º _________ π 300º _________ x
300π = 180x x = 300π/180 x = 5π/3 radianos Novidade: Conversão automática de Graus para Radianos Digite um ângulo em graus no campo abaixo e pressione Converter, para convertê-lo de Graus para Radianos.
ºConverte π radianos. Para a conversão de radianos para graus o procedimento é mais simples ainda: basta se colocar 180 no lugar de π. Exemplos: π/2 = 180/2 = 90º, 5π/3 = 5.180/3 = 300º.
Clicando aqui você pode ver os principais valores no Ciclo Trigonométrico, representados em graus e radianos. Para se achar o seno, cosseno ou tangente de um dado ângulo é só procurar o valor do ângulo ao redor do ciclo e seguir a linha pontilhada. A primeira linha vertical é a reta dos senos, a horizontal é a reta dos cossenos e por último a segunda vertical é a reta das tangentes.
Caso o ângulo não esteja representado no ciclo, e ele for maior que 360º, pode ser que seja um ângulo equivalente aos presentes no ciclo, daí basta verificar o seno/cosseno/tangente do equivalente que ele será válido para o ângulo em questão também.
O procedimento para verificar se um ângulo tem equivalente é simples: dado um ângulo x qualquer maior que 360º, fazemos x/360, pegando somente a parte inteira y do resultado. Então, multiplicamos esse y obtido por 360, e subtraímos o resultado do ângulo inicial x. Daí é só verificar se o ângulo encontrado se encaixa com algum valor no ciclo trigonométrico. Exemplos:
Postulado de Euclides ou das retas paralelas P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma �nica reta s, tra�ada por P, tal que r // s:
Determina��o de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um �nico plano passa por tr�s pontos n�o-colineares, um plano tamb�m pode ser determinado por: • uma reta e um ponto n�o-pertencente a essa reta:
• duas retas distintas concorrentes:
• duas retas paralelas distintas:
Posi��es relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situa��es: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , ent�o r est� contida nesse plano:
b) reta concorrente ou incidente ao plano Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e s�o concorrentes em P quando .
Observa��o: A reta r � reversa a todas as retas do plano que n�o passam pelo ponto P. c) reta paralela ao plano Se uma reta r e um plano n�o t�m ponto em comum, ent�o a reta r � paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos t�m um ponto em comum, ent�o a sua intersec��o � dada por uma �nica reta que passa por esse ponto. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r � perpendicular a um plano se, e somente se, r � perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersec��o de r e .
Note que: • se uma reta r � perpendicular a um plano , ent�o ela � perpendicular ou ortogonal a toda reta de :
• para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que n�o basta que r seja perpendicular a uma �nica reta t de para que seja perpendicular ao plano:
Posi��es relativas de dois planos Consideramos as seguintes situa��es: a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes Dois planos, , s�o concorrentes quando sua intersec��o � uma �nica reta:
c) planos paralelo Dois planos, , s�o paralelos quando sua intersec��o � vazia:
Introdução à Geometria Euclidiana Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel RETA: fio esticado, lados de um quadro PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc. Anônimo disse...
Introdução à Geometria Euclidiana
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, .
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática. vlw professor ta massa hehe...
As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas; Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas; Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
9ºano 4
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas.
De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto.
Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Olá! Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Relação entre: ponto, reta e plano. Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β A FÓRMULA DE BHASKARA :
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois : Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a , 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac 2ax + b = --> 2ax = - b x
Euclides de Alexandria, mestre, escritor de origem provavelmente grega, matemático da escola platônica, e conhecido como o Pai da Geometria, nasceu na Síria aproximadamente em 330 a.C. e realizou seus estudos em Atenas. Ele é até hoje, na história da Matemática, considerado como um dos mais significativos estudiosos deste campo na antiga Grécia.Não se sabe muito sobre sua trajetória existencial, pois nunca se falou demais acerca de sua vida pessoal. Ele foi convidado a lecionar Matemática na escola instituída em Alexandria por Ptolomeu Sóter ou Ptolomeu I, que governou o Egito de 323 a.C. a 283 a.C. Nesta instituição, também conhecida como ‘Museu’, ele conheceu a influência ao se destacar entre os demais professores pelo método utilizado em suas aulas de Geometria e Álgebra. Sua fama indicava que ele tinha um grande potencial para explanar as disciplinas que ministrava.
O que se sabe sobre Euclides foi extraído de textos elaborados muitos séculos após sua passagem pelo Planeta, principalmente os escritos por Proclo e Pappus de Alexandria. O primeiro se refere ao matemático como o criador da clássica obra Os Elementos, anteriormente citada por Arquimedes.
A teoria aí desenvolvida é uma das mais importantes na trajetória da Matemática, o que levou este livro a ser adotado como prioridade nas aulas desta disciplina, particularmente as de geometria, desde o momento em que foi lançado até fins do século XIX ou princípio do século XX. Esta doutrina se tornou conhecida como Geometria Euclidiana; seus conceitos foram inferidos de um pequeno grupo de axiomas – proposições consideradas consensuais, sem necessidade de provas; eles são essenciais para a elaboração de um corpo teórico.
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ResponderExcluirPONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
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ResponderExcluirtô entendo @!%$$&**() nim uma
ResponderExcluirta muito show!!!!!!!
ResponderExcluirIntrodução à Geometria Euclidiana
ResponderExcluirEste trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática. DANIEL NUNES
Em matemática, uma reta é um objeto geométrico infinito a uma dimensão. Pode ser definida de várias formas equivalentes. Em Geometria Descritiva uma reta é o resultado da deslocação de um ponto segundo uma determinada lei.
ResponderExcluirUma curiosidade é que, no texto original de Os Elementos, de Euclides, fala-se de segmentos de reta e não de retas.
É PRA FAZERR O QUEE ?
ResponderExcluirPuts nn touu achandoo nada
#queraiva
Ponto, Reta e Plano
ResponderExcluirPonto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
DANIEL NUNES 9°ANO 1
Semirreta
ResponderExcluirUma semirreta \overrightarrow{OA},, também denotada por \dot{O}A\,\! ou [OA)\;\!, é o conjunto dos pontos P da reta OA tais que O não está entre P e A.
Semirreta
Ao fixar-se um ponto sobre uma reta, esse ponto a divide em duas partes iguais, transformando-a em duas semirretas de mesma origem e sentidos opostos.
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ResponderExcluirDANIEL PARA DE COPIAR AS COISAS DO GOOGLE VAI FAZER TUAS COISAS MAH!!!
ResponderExcluirUma reta no plano pode ser descrita das seguintes formas:
ResponderExcluirdando dois pontos da reta;
dando um ponto da reta e o seu declive;
dando um ponto da reta e um vetor normal a essa reta;
dando um ponto e um vetor da reta.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluir►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluirA geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto(A, G, P,. . . ). Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em seqüência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta.
ResponderExcluirvai pa ...!
ResponderExcluirIIIIIIIIII
ResponderExcluirPOVO PAIA SÓ SABE VAIAR
Ponto, Reta e Plano
ResponderExcluirPonto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. LKS´S HUT´Z
Relação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Pontos colineares
ResponderExcluirSão pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s. LKS´S HUT´Z
EI Mah tinha q falar sobbre matematica?
ResponderExcluircala boca classe (c)
ResponderExcluirDexa de copiar e colar da wikipedia :@
ResponderExcluirA geometria pelo que eu entendi é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
ResponderExcluirleleh pdm te amuhh!!!! S2!!! by:lks
ResponderExcluirPonto:
ResponderExcluirRepresentação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
ResponderExcluiralternos alternos internos 3 e 6 4 e 5
alternos externos 1 e 8 2 e 7
colaterais colaterais internos 3 e 5 4 e 6
colaterais externos 1 e 7 2 e 8
Propriedades das retas tranversais
Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.
Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.
Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou suplementares.
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Os principios Básicos da geometria Plana :)
ResponderExcluirA geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.
Tem continuação termino la em ksaa..
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ResponderExcluirPonto, Reta e Plano são elementos primitivos da geometria.
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Ponto - representado por letra maiúscula : A,B,C,.......
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Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,.....
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Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama.......
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Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluirPor um único ponto passam infinitas retas.Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Pelo q eu entendi a influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.
ResponderExcluirPor um ponto passam várias retas.
ResponderExcluirDois pontos distintos determinam uma reta.
Três pontos distintos e não colineares determinam um plano.
Por um único ponto passam infinitas retas.Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
ResponderExcluirluiz nilson 9 1
Agora espero que cada um de vocês possam ter outra visão dos números complexos.
ResponderExcluirA geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
ResponderExcluirGeometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
ResponderExcluirPor um ponto passam várias retas.
ResponderExcluirDois pontos distintos determinam uma reta.
Três pontos distintos e não colineares determinam um plano.Pontos colineares
São pontos que pertencem a uma mesma reta.
Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria.Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluirPontos colineares
ResponderExcluirSão pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois Semi-retas
Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas. T não pertence a reta s.
Pontos colineares
ResponderExcluirSão pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas
Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
Segmentos de Reta: Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
ResponderExcluirDada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
Segmentos Colineares
ResponderExcluirDois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
Segmentos Congruentes
Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum.
MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
Os principios Básicos da geometria Plana :)
ResponderExcluirA geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.Os estudos analisavam diferentes formas de objetos, eles eram baseados em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto - Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z).
Reta - Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
Plano-Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta)e como a reta o plano também é infinito.
Fórmula de Bháskara
A forma de baskara é usada para resolver, descobrir a raiz de uma equação de segundo grau, antes, ate o século 16, não era usada nenhuma fórmula para descobrir a raiz, até que veio essa fórmula, uma fórmula que não pode ser considerada complicada pelos estudantes de ensino médio.
Essa formula começou com François Viete, um francês que viveu de 1540 a 1603, esse francês ajudou muitas pessoas até hoje, pois essa formula simplifica muito para conseguir achar a raiz de uma equação do segundo grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo à fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0, agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 —> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac –> (2ax + b) 2 = b2 – 4ac
2ax + b = B elevado a 2, menos 4ac –> 2ax = – b elevado a 2, menos 4ac
x é igual menos b, mais o menos raiz quadrada de b elevado a 2, menos 4ac, divido por 2a.
Fimm..
Bjim espero que eu ganhe meus pontinhoss!
9º1 ;)
Relação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Princípios da geometria
ResponderExcluirReta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
ResponderExcluir►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Leticia Caetano 9º II
ResponderExcluir►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Introdução à Geometria Euclidiana
ResponderExcluirEste trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
►Plano
ResponderExcluirPara diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor. Como a reta o plano também é infinito.
Equação do 2º grau
ResponderExcluirDenomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação
a
b
c
x²+2x+1
1
2
1
5x-2x²-1
-2
5
-1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
(Muito interessante k')Tchau galerinha ;D
valeu edurado arrasou!
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Ian keply 9º ano ll
ResponderExcluirPrincípios da geometria
Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
A geometria é mt mt importante,E a matematica tbm,heHEHE.
ResponderExcluirTCHAU,GALERA,BJX ;D
Equação do 2º grau
ResponderExcluirDenomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação
a
b
c
x²+2x+1
1
2
1
5x-2x²-1
-2
5
-1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Vou falar aqui de quatro conceitos que considero essenciais no estudo da Geometria. São eles:
ResponderExcluirPonto
Reta
Plano
Espaço
Estes quatro conceitos são considerados “primitivos”, pois não possuem uma definição rigorosa mas são facilmente compreendidos, além de serem a base para o estudo da Geometria.
1. PONTO
Um ponto, matematicamente falando, é adimensional, ou seja, não possui dimensão. O que significa que não pode ser medido (dimensionado). Em Geometria Plana é comum apenas nomearmos os pontos com letras maiúsculas. Em Geometria Analítica, além de nomeá-los, também é comum localizarmos a posição dos pontos em um plano ou no espaço.
2. RETA
Uma reta pode ser considerada como um conjunto infinito de pontos alinhados. Uma reta é unidimensional (1D), isto é, possui uma dimensão (o comprimento). Uma reta determina uma direção e, nessa, direção, dois sentidos. Uma reta é infinita nos dois sentidos de sua direção. Por isso é comum trabalharmos mais com segmentos de reta que com retas propriamente ditas. Um segmento de reta é finito, isto é, tem começo, meio e fim! O começo e o fim de um segmento de reta são determinados por dois pontos.
3. PLANO
Um plano pode ser considerado como um conjunto infinito de retas não coincidentes, paralelas e postas lado a lado. Um plano é bidimensional (2D), ou seja, possui duas dimensões (o comprimento e a largura). Em um plano podem ser determinadas infinitas direções e, em cada uma delas, dois sentidos. Um plano é infinito nos dois sentidos de todas as direções contidas nele. Por isso é comum trabalharmos mais com regiões planas que com planos propriamente ditos. Essas regiões são delimitadas e comumente chamadas de figuras planas. Triângulos, retângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, trapézios, losangos, paralelogramos e círculos são alguns exemplos mais conhecidos que são estudados na Geometria Plana (aliás é por isso que ela é chamada de plana!).
4. ESPAÇO
O espaço pode ser considerado como um conjunto infinito de planos não coincidentes, paralelos e sobrepostos. O espaço é tridimensional (3D), isto é, possui três dimensões (o comprimento, a largura e a altura). No espaço podem ser determinadas infinitas direções e, em cada uma delas, dois sentidos. O espaço é infinito em todas as direções e em todos os sentidos existentes. É no espaço que podemos identificar e localizar os pontos, os planos e as retas. Estudamos o espaço em Geometria Analítica, geralmente com vetores de três coordenadas, uma para cada dimensão! Também estudamos porções limitadas do espaço em Geometria Espacial (aliás é por isso que ela é chamada de espacial!), quando estudamos os sólidos, notadamente os cilindros, os cones, as esferas, os prismas e as pirâmides!
Enfim, o espaço é o lugar onde tudo o que conhecemos existe! Não apenas as abstrações matemáticas, mas o nosso mundo real.
massa cara 9ano2 wagner lobao
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Correção *EDUARDO
ResponderExcluirara formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
ResponderExcluir• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
Ta massa Eduardo o melhor blog para se aprender!
ResponderExcluirgeovannia pinheiro 9:2 principios basicos da geometria Relação entre: ponto, reta e plano.
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
puts'! eduardOO ficou muito legal ...
ResponderExcluiradOOrei seu blog. :D
RESUMO
ResponderExcluirA Geometria, surgida na Antigüidade por necessidades da vida cotidiana, é hoje
estruturada no currículo educacional na disciplina de Matemática. Como as
demais ciências, reflete as leis sociais e representa um poderoso instrumento
para o conhecimento do mundo e domínio da natureza. Com os objetivos de
despertar no aluno o interesse pelo conhecimento geométrico, desenvolver e
melhorar habilidades matemáticas relacionadas a situações do dia-a-dia, neste
trabalho foi proposta uma metodologia diferenciada para o ensino-aprendizagem
de Geometria no Ensino Médio utilizando como recurso a experimentação. As
estratégias de ação incluíram o uso de laboratório, vídeos, instrumentos de
medida e materiais manipuláveis.
Ian keply 9º ano ll
ResponderExcluirA Fórmula de Bhaskara
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
• Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
• Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
• Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
beleza Eduardo com essas aulas vc ficara muito mas importante com nos os alunos do 9°2 agradeçemos por essa aula magavilhosa.
ResponderExcluirvlw edu.
vlw
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
ResponderExcluirProblemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
fórmula de bhaskara!
ResponderExcluirA idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
OWNT! EDUARDO AMEII TEU BLOG
ResponderExcluirFICOU MUITO LEGAL! :)
blz de rocha 9ano2 deimerson
ResponderExcluirformula de blaskara 9ano 2 As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
ResponderExcluirEis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
ResponderExcluirComo a reta o plano também é infinito.
Introdução à Geometria Euclidiana
ResponderExcluirEste trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
GOSTEI ,UFAAA PELO MENOS UMA AULA DIFERENTE,PODE CRIAR MUITOS E MUITOS outros BLOGS
ResponderExcluirA idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ResponderExcluirax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
Pesquisa sobre geometria
ResponderExcluirA geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1]
A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.
Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra,
e ai galera tuhdu blz
minino deimerson caiu = a um tomate
ResponderExcluirNossa! Esse blog ta muito interessante EDURARDO,adorei o comentario de yasmim e karol. :)...
ResponderExcluirfico muito legau mais vai fica mais legau
ResponderExcluiradooreei
ResponderExcluir• Ponto - representado por letra maiúscula : A,B,C,.......
ResponderExcluir• Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,.....
• Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama.......
• Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.
Postulados: são afirmações que nós não podemos demonstrar.
plano (geometria)
ResponderExcluirUtilizando uma imagem do senso comum poderá dizer-se que um plano se assemelha a uma folha (de papel ou outro material) de dimensão infinita e sem qualquer espessura.
Plano ou superfície plana é uma superfície regrada não fechada (ilimitada), que pode ser gerada por meio do movimento de um elemento gerador (uma reta geratriz) que se apoia constantemente sobre um elemento diretor (uma reta diretriz). Esse movimento é feito de forma que a reta geratriz se desloque sempre paralelamente a si mesma, dando assim origem ao plano ou superfície plana. Outra forma rigorosa de o definir é o conjunto de pontos cuja propriedade característica é o conter a reta definida por dois quaisquer dos seus pontos
Em termos concretos, um plano pode ser determinado por três pontos não colineares (não existe qualquer linha reta que os contenha em simultâneo) ou por duas retas secantes, ou por duas retas paralelas, ou ainda por uma reta e um ponto exterior a essa reta.
Supondo, por exemplo, o caso da definição de um plano por três pontos não colineares, não é difícil imaginar esses pontos fixos algures no espaço. Se supusermos que pegamos numa folha de papel de dimensão infinita e a "obrigamos" a passar por dois dos três pontos considerados, a folha poderá ficar em várias posições, uma vez que pode rodar em torno de um eixo que é a linha reta que contém esses dois pontos. Mas, se a "obrigarmos" a passar também pelo terceiro ponto, então, a partir desse momento, a folha fixa-se numa determinada posição que é única (a folha pode apenas deslizar lateralmente mas, uma vez que tem dimensão infinita, esse deslocamento não corresponde a qualquer nova posição), pelo que os três pontos determinam um e um só plano. De forma semelhante se pode mostrar que também duas retas, paralelas ou secantes, ou então uma reta e um ponto exterior a ela definem um e um só plano.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Juliana Monteiro e Bárbara Souza 9°'v'
ResponderExcluirA geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade de cada teorema.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).
ResponderExcluirNo sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.
Aspectos históricos. Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos.
Elementos e figuras geométricas
A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais.
Polígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluirPodemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
ResponderExcluirPodemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
GEOMETRIA
ResponderExcluirBy:Eliabe Lima e Caico Queiroz
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).
No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.
Aspectos históricos. Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos.
Elementos e figuras geométricas
Eu gostei pôr de + do seu blog parabéns vc só precisa ser um pouco mais legal e sincero com seus alunos
ResponderExcluirmais mesmo assim vc é e continuará sendo um dos meus melhores professores
bjs;;;
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Suplementares: Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.
ResponderExcluirÂngulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando os dois ângulos são: agudos, retos ou obtusos.
Suplementares: Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.
Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.
Calcular a medida do ângulo x.
Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.
Calcular a medida do ângulo x.
Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).
ResponderExcluirDois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes.
A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais.
Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b:
Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:
onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados.
Quadriláteros e polígonos regulares. Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois.
Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos).
Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).
►Reta
ResponderExcluirPara formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolCoeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja:
m = tg
EQUAÇÃO DA RETA
Equação geral da reta
Toda reta do plano possui uma equação da forma:
ax + by + c = 0
na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.
Exemplos:
a) – 5x + 3y - 1 = 0
b) 9x – 4y – 13 = 0
Equação reduzida da reta
É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação).
Exemplos:
a) y = 8x – 10
Coeficiente angular = 8
Coeficiente linear = - 10
b) y = – 4x + 12
Coeficiente angular = – 4
Coeficiente linear = 12
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA
Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula:
Importante: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma:
Coeficiente angular Equação da reta
2 valores para o y. O valor do m.
2 valores para o n. 1 valor para o n.
1 valor para o x.
Aplicação
Determine a equação da reta que passa pelos A (4, 12) e B (0, 4)
Solução:
1.º passo (cálculo do m – 2 valores para o y e 2 para o x):
2.º passo (equação da reta – o valor do m, 1 valor de y e um valor de x):,
ongada nos dois sentidos.
►Reta
ResponderExcluirPara formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.
ResponderExcluirEla prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo rÉ considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.
Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.
Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.
Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:elações com os acontecimentos
Ponto, Reta e Plano
ResponderExcluirPonto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".
Pontos Colineares e semi-retas
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Ponto, Reta e Plano são elementos primitivos da geometria.
ResponderExcluirPonto - representado por letra maiúscula : A,B,C,.......
Reta - representado por letra minúscula : a,b,c,.....
Plano - representado por letra grega: alfa, beta, gama.......
Teorema: são afirmações que nós podemos demonstrar.Postulados: são afirmações que nós não podemos demonstrar.Colinear: na mesma reta/ Coplanar: no mesmo plano
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ResponderExcluirPontos Colineares e semi-retas
Pontos colineares
São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas
Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado.
A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
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Segmentos de Reta: Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
AB e BC
são consecutivos MN e NP
são consecutivos EF e GH
não são consecutivos
Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
são colineares MN e NP
são colineares EF e FG
não são colineares
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares
Os segmentos de reta EF e FG são consecutivos, mas não são colineares
Segmentos Congruentes
Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum.
MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos comum.
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).
ResponderExcluirDois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes.
A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais.
Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b:
Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:
onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados.
Quadriláteros e polígonos regulares. Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois.
Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos).
Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).
►Plano
ResponderExcluirPara diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
,0
ResponderExcluirvaleu eduardo
Blog legal :)
ResponderExcluirta muito massa meu amigo. que deus te ilumine par toda vida.
ResponderExcluiré muito interessante ô
ResponderExcluirEncontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
ResponderExcluirLegal esse site
ResponderExcluirFormas novas de aprender
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA GEOMETRIA
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
PONTO :
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z).
RETA:
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
PLANO :
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Jamille Ribeiro . 9° IV
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
ResponderExcluirEis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
muito bom!!!
ResponderExcluirgostei vc é uma pessoa mauito boa e responsavél;parabéns por nos ajudar em td q nó fazemos!!!
A Fórmula de Bhaskara
ResponderExcluirO hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
Revista do Professor de Mateámtica - nº 39
Linha do Tempo Página Principal
Como chegar na fórmula de resolução da equação de 2º
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
A Fórmula de Bhaskara
ResponderExcluirO hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
► Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
► Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
► Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
╚> Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
ResponderExcluirEis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
A FÓRMULA DE BHASKARA :
ResponderExcluirO hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
A FÓRMULA DE BHASKARA :
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
Terça-feira, 10 Maio, 2011
A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
ResponderExcluirA geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1]
A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.
Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra,
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
ResponderExcluirA Geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos, segundo o historiador grego Heródoto (séc.v a.c. ). Contudo, é certo que civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, da Babilónia à China, passando pelas civilizações Hindu.
ResponderExcluirIntrodução à Geometria Euclidiana
ResponderExcluirEste trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano
As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
►Plano
ResponderExcluirPara diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais.
ResponderExcluirPolígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices.
Polígono é uma linha fechada, isto é, divide o plano em duas regiões, uma interior e outra exterior ao polígono. A diferença entre elas é que qualquer semi-reta cuja origem seja um ponto na região interior corta pelo menos um lado do polígono, o que não acontece necessariamente se o ponto estiver na região exterior. Em função do número de lados (ou ângulos), os polígonos classificam-se em triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos etc.
Triângulos. Os polígonos de três lados recebem o nome de triângulos. Podem ser eqüiláteros (quando os três lados são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento), isósceles (dois lados iguais) ou escalenos (três lados desiguais). De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos dividem-se em acutângulos (se todos os ângulos são menores que 90o), retângulos (se um dos ângulos é reto, ou seja, igual a 90°) e obtusângulos (se um de seus ângulos é maior que 90°). Os três ângulos de um triângulo somam sempre 180°.
NÃO FIQUEM INTEDIADOS
Fórmula de Bhaskara
ResponderExcluirUma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:
2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
ResponderExcluir1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
2º passo
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo 2
Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
Raízes ou zero da função do 2º Grau
ResponderExcluirDeterminar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara.
O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (∆), observe as condições a seguir:
∆ > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas.
∆ = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real.
∆ < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real.
Exemplos 1
x² – 5x + 6 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (– 5)² – 4 * 1 * 6
∆ = 25 – 24
∆ = 1
Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
ResponderExcluirSemi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Retas perpendiculares
ResponderExcluirÂngulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação ab para indicar que as retas a e b são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Como usar o Ciclo Trigonométrico
ResponderExcluirPostado por fernandohrosa em dez 12, 2008 em Matemática Tags: Ensino Médio, trigonometria, vestibular | 53 comentários
O Ciclo Trigonométrico é uma maneira de se representar graficamente as relações de seno, cosseno e tangente. O ciclo está dividido em 360 graus (ou 2π radianos). (Veja também: Ciclo Trigonométrico).
Radiano é a medida padrão para arcos ou ângulos. Na maioria das vezes em respostas à questões de vestibulares, você só encontrará as alternativas em radianos, então é importante se conhecer e saber converter de graus para radianos e vice-versa.
Um radiano (1 rad) é um arco de medida igual ao do raio de um dado círculo. O número que expressa a relação arco/radiano é o famoso π. Em 180 graus (meio ciclo) cabem 3,1415926… arcos radianos, o que equivale dizer que 180º = π radianos (Em graus 1 radiano equivale a mais ou menos 57º).
A partir dessa relação, com uma regra de três simples, é possível se chegar aos equivalentes em radianos de qualquer grau. Exemplo: converter 300º para radianos:
180º _________ π
300º _________ x
300π = 180x
x = 300π/180
x = 5π/3 radianos
Novidade: Conversão automática de Graus para Radianos
Digite um ângulo em graus no campo abaixo e pressione Converter, para convertê-lo de Graus para Radianos.
ºConverte π radianos.
Para a conversão de radianos para graus o procedimento é mais simples ainda: basta se colocar 180 no lugar de π. Exemplos: π/2 = 180/2 = 90º, 5π/3 = 5.180/3 = 300º.
Clicando aqui você pode ver os principais valores no Ciclo Trigonométrico, representados em graus e radianos. Para se achar o seno, cosseno ou tangente de um dado ângulo é só procurar o valor do ângulo ao redor do ciclo e seguir a linha pontilhada. A primeira linha vertical é a reta dos senos, a horizontal é a reta dos cossenos e por último a segunda vertical é a reta das tangentes.
Caso o ângulo não esteja representado no ciclo, e ele for maior que 360º, pode ser que seja um ângulo equivalente aos presentes no ciclo, daí basta verificar o seno/cosseno/tangente do equivalente que ele será válido para o ângulo em questão também.
O procedimento para verificar se um ângulo tem equivalente é simples: dado um ângulo x qualquer maior que 360º, fazemos x/360, pegando somente a parte inteira y do resultado. Então, multiplicamos esse y obtido por 360, e subtraímos o resultado do ângulo inicial x. Daí é só verificar se o ângulo encontrado se encaixa com algum valor no ciclo trigonométrico. Exemplos:
Geometria Espacial
ResponderExcluirPostulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma �nica reta s, tra�ada por P, tal que r // s:
Determina��o de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um �nico plano passa por tr�s pontos n�o-colineares, um plano tamb�m pode ser determinado por:
• uma reta e um ponto n�o-pertencente a essa reta:
• duas retas distintas concorrentes:
• duas retas paralelas distintas:
Posi��es relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situa��es:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , ent�o r est� contida nesse plano:
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e s�o concorrentes em P quando .
Observa��o: A reta r � reversa a todas as retas do plano que n�o passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano n�o t�m ponto em comum, ent�o a reta r � paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos t�m um ponto em comum, ent�o a sua intersec��o � dada por uma �nica reta que passa por esse ponto.
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r � perpendicular a um plano se, e somente se, r � perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersec��o de r e .
Note que:
• se uma reta r � perpendicular a um plano , ent�o ela � perpendicular ou ortogonal a toda reta de :
• para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que n�o basta que r seja perpendicular a uma �nica reta t de para que seja perpendicular ao plano:
Posi��es relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situa��es:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, , s�o concorrentes quando sua intersec��o � uma �nica reta:
c) planos paralelo
Dois planos, , s�o paralelos quando sua intersec��o � vazia:
Beatriz da Silva
ResponderExcluir9°ano4
Introdução à Geometria Euclidiana
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel
RETA: fio esticado, lados de um quadro
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa
Wanessa Fontenelle
ResponderExcluir9° ano 4
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc. Anônimo disse...
ResponderExcluirIntrodução à Geometria Euclidiana
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel, ...
RETA: fio esticado, lados de um quadro, ...
PLANO: o quadro negro, a superfície de uma mesa, .
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
ResponderExcluirEis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
ResponderExcluirEis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática. vlw professor ta massa hehe...
ResponderExcluireii professor fikou maassa viu hehe....
ResponderExcluirNotações de Ponto, Reta e Plano
ResponderExcluirAs representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
9ºano 4
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas.
De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto.
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ResponderExcluiradorei
ResponderExcluirnataniele e daniel do 9ºano''6''diz:
ResponderExcluiradoramos o blog tem varias coisas interessantes
Lícia
ResponderExcluir9º ano 4
Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Olá!
ResponderExcluirQuando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
Princípios da geometria
ResponderExcluirRelação entre: ponto, reta e plano.
Tweet Quando iniciamos o estudo de geometria é necessário que saibamos alguns princípios importantes e essenciais para o aprendizado de Geometria Plana ou Geometria de espacial.
►Ponto
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
A FÓRMULA DE BHASKARA :
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adquado pois :
Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos
Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , prograssões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
Euclides de Alexandria, mestre, escritor de origem provavelmente grega, matemático da escola platônica, e conhecido como o Pai da Geometria, nasceu na Síria aproximadamente em 330 a.C. e realizou seus estudos em Atenas. Ele é até hoje, na história da Matemática, considerado como um dos mais significativos estudiosos deste campo na antiga Grécia.Não se sabe muito sobre sua trajetória existencial, pois nunca se falou demais acerca de sua vida pessoal. Ele foi convidado a lecionar Matemática na escola instituída em Alexandria por Ptolomeu Sóter ou Ptolomeu I, que governou o Egito de 323 a.C. a 283 a.C. Nesta instituição, também conhecida como ‘Museu’, ele conheceu a influência ao se destacar entre os demais professores pelo método utilizado em suas aulas de Geometria e Álgebra. Sua fama indicava que ele tinha um grande potencial para explanar as disciplinas que ministrava.
ResponderExcluirO que se sabe sobre Euclides foi extraído de textos elaborados muitos séculos após sua passagem pelo Planeta, principalmente os escritos por Proclo e Pappus de Alexandria. O primeiro se refere ao matemático como o criador da clássica obra Os Elementos, anteriormente citada por Arquimedes.
A teoria aí desenvolvida é uma das mais importantes na trajetória da Matemática, o que levou este livro a ser adotado como prioridade nas aulas desta disciplina, particularmente as de geometria, desde o momento em que foi lançado até fins do século XIX ou princípio do século XX. Esta doutrina se tornou conhecida como Geometria Euclidiana; seus conceitos foram inferidos de um pequeno grupo de axiomas – proposições consideradas consensuais, sem necessidade de provas; eles são essenciais para a elaboração de um corpo teórico.