Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos: x=Re(z, parte real de z y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1=z2<==> a=c e b=d Adição de números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1+z2=(a+c) + (b+d) Subtração de números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1-z2=(a-c) + (b-d) Potências de i Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = -1.i = -i i4 = i2.i2=-1.-1=1 i5 = i4. 1=1.i= i i6 = i5. i =i.i=i2=-1 i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2 z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2 z= (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que: z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2 Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = -4x + 40 4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i Efetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i Para a forma trigonométrica, temos que: r = (1 + 1)1/2 = 21/2 sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2 cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que: z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )
Números Complexos : Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi Exemplos:
01º) (5,3)=5+3i
02º) (2,1)=2+i
03°) (-1,3)=-1+3i
04°) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
05º) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
06º) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi
onde a e b são números reais e i2 = -1.
No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i
parte real 2
parte imaginária 5
i
parte real
parte imaginária
12i
parte real 0
parte imaginária 12
-9
parte real -9
parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.
Aritmética dos números complexos
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias
Miller Naftaim 29 3° ano 2 Jeane Barbosa 17 Número complexo Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z [1]. O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre como sobre . Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por . O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo. Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical. Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais. Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica. 1. Calcule as seguintes somas: a) (2 + 5i) + (3 + 4i) b) i + (2 - 5i) 2. Calcule as diferenças: a) (2 + 5i) - (3 + 4i) b) (1 + i) - (1 - i) 3. Calcule os seguintes produtos: a) (2 + 3i) (3 - 2i) b) (1 + 3i) (1 + i) 4. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: a) 3 + 4i b) -3 + i c) 1 - i d) -2 � 5i 5. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: a) 3 + 4i b) 1 - i c) �3 + i d) �2 �5i 6. Efetue as seguintes divisões de números complexos: a) (-10 + 15i) / (2 � i) b) (1 + 3i) / (1 +i)
Exercícios Resolvidos: 1- Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 . Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero. 2- Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
3- Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2 z= (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
4 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que: z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
5 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2 Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = -4x + 40 4x = 20, logo x=5
6 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i Efetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i Para a forma trigonométrica, temos que: r = (1 + 1)1/2 = 21/2 sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2 cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que: z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º ) Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z
Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número real x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y. (3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2 Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então (4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0) Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12 Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z. O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre como sobre . Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por . O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial conduz a um espaço normado topologicamente completo. Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical. Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Exercícios 1º Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. Resposta: -1 – i 2º FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i Resposta: A 3º Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z . Resposta: -3 + 18i 4º UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: Resposta: -2 + 18i
5º Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200. Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100. 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e, portanto um número real. Daí concluiu que a sua parte imaginária é zero. 6º Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro. Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade. • Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ). • Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac – bd, ad + bc ). • Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d. Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1), onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0). Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i = Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z. Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual. • Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i • Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i • Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d Conjugado de um número complexo. ( ) Se z = a + bi então = a – bi
Questões:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro. Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 . Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 . Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
4- Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Solução : Efetuando a divisão, z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
5 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2 Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = -4x + 40 4x = 20, logo x=5
6 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z [1].
O conjunto dos números complexos, denotado por \mathbb{C}, contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre \mathbb{C} como sobre \mathbb{R}.
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra i\,\! pela letra j\,\!, devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
Adrielly Viana e Mariana Matos -Abraços e Milhões de Beijinhos 3° ANO II
(2 +m)(1 + i) = K - 2i 2 + 2i + m + mi = K - 2i --- aplicando a distributiva no primeiro membro (2 + m) + (2 + m)i = K - 2i ----- agrupando os termos do primeiro membro em parte real e imaginária.
Como temos uma identidade na última linha, temos que igualar a parte real do primeiro membro, (2 + m), à do segundo, k, e igualar a parte imaginária do primeiro membro, (2 + m)i, à do segundo, -2i.
3-Calcule o valor da expressão Y=i+i²+i³+i4+ i+.........+ i (elevado)1001
Nesta, temos que usar a propriedade circular da unidade imaginária em relação à potenciação: iˆ1 = i, iˆ2 = -1, iˆ3 = -i, iˆ4 = 1, repetindo-se ciclicamente a cada quatro grupos, de forma que iˆ(4n + 1) = i, iˆ(4n + 2) = -1, iˆ(4n + 3) = -i e iˆ(4n + 4) = 1, n inteiro. Sabemos que a soma i + iˆ2 + iˆ3 + iˆ4 é nula. Assim, todas as somas seguinte agrupadas em quatro elementos também o serão. Batsa, então que determinemos o quantos grupameentos existem em 1001 elementos. Isso dá 250. O que significa que resta apenas o iˆ1001 = iˆ(4*250 + 1), que, pela propriedade, vale i.
Portanto, a soma Y procurada é igual a i. Y = i
4-Resolva a equação X² + 2x + 5 = 0 no conjunto dos números complexos.
Precisamos encontrar o determinante D. Aplicando a formuleta D = bˆ2 - 4*a*c temos D = 2ˆ2 - 4*1*5 = -16. Com D < 0, as soluções x1 e x2 da equação serão complexas e calculadas por x1 = (-2 + Dˆ0,5)/2a e x2 = (-b - Dˆ0,5)/2a. Assim,
x1 e x2 formam um par de complexos conjugados: -1 + 2*i e - 1 - 2*i, que são as soluções da equação.
5-Determine M, tal que Z= (M+2) + (M² - 4)i seja real e não nulo.
Aqui p = M + 2 e q = Mˆ2 - 4. Como a imposição é que o número z seja real não nula, então devemos ter Mˆ2 - 4 = 0, para eliminarmos a parte complexa, e, além disso, devemos ter M + 2 = 0, para que z seja nula. Da primeia, retira-se que M = 2 ou M = -2. E da segunda, tem-se que M = -2. Segue-se que apenas a solução M = -2 satisfaz às condições.
Assim, M = -2 é a resposta.
6-Calcule as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
Resposta Final Será: 3 - 2i; -3 + 2i
Questões elaboradas por Adrielly Viana e Mariana Matos do 3°ano II
Números Complexos Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS: a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z . b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i . d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0i . e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos. f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) . Exercícios
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
3)Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2 z= (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
4) Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que: z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58 Poor:Katiane Menezes do 3 ano 2
Trabalho Avaliativo de Matemática Números Complexos Definição: Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = a + b i. Onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:a = Re(z) e b = Im(z. Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos. Questões: 01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i Resposta letra "C" 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i Resposta letra "C" 03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos Resposta: letra "C" 04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é: a) zero b) i c) -i d) 1 e) -1 Respota: letra "A" 05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: a) 1 b) -i c) 2i d) -i/2 e) i/2 Respostas: letra "E" 06. A potência (1 - i )16 equivale a: a) 8 b) 16 - 4i c) 16 - 16i d) 256 - 16i e) 256 Resposta letra :"E"
Numeros complexos O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo. Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 . Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z. Exemplos: z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4 z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2 A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma: x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau) x² = –81 x = ±√–81 Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81 x = ±9i
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro. Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 . Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 . Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero. 4 - UEFS-94.1 - A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é: a) Ö 13 b) Ö 7 c) 13 d) 7 e) 5 resposta: A 5- FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i resposta: A
6 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49 é: a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i resposta: E Dupla: Livia Silva, 26 e Ellen Paula, 07. 3º ano II
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1.
Questões: 01.O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: R.: 29+11I 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: R.: I-1 03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real? R.:3 04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é: R.: zero 05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: R.: i/2 06. A potência (1 - i )16 equivale a: R.: 256
Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R. Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que: z=(x,y)=x+yi Exemplos: (5,3)=5+3i (2,1)=2+i (-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos: x=Re(z, parte real de z y=Im(z), parte imaginária de z Igualdade entre números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1=z2<==> a=c e b=d Adição de números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1+z2=(a+c) + (b+d) Subtração de números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1-z2=(a-c) + (b-d) Potências de i Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = -1.i = -i i4 = i2.i2=-1.-1=1 i5 = i4. 1=1.i= i i6 = i5. i =i.i=i2=-1 i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2 z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i2= -1 Conjugado de um número complexo Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Divisão de números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2.
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i letra:C
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i letra:C
03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos Letra: C 04. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 letra: E
05. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:
a) -1 b) -i c) i d) i4 e) i5 letra: D
06. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
Introdução aos números complexos Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à resolução de equações polinomiais do tipo x2 + 1 = 0. Como os quadrados de números reais são sempre maiores ou iguais a zero, esta equação não tem soluções reais. Resolvê-la corresponde a introduzir números que sejam raízes quadradas de números reais negativos. A primeira referência a esta possibilidade parece ser de H. Cardano, em 1545. Foi seguida, em 1572, pela exposição das propriedades algébricas destes números por R. Bombelli, que também introduziu o símbolo √-1. Em 1748, L. Euler designou este símbolo, a que se chamou "unidade imaginária", por i. Foi também Euler que introduziu em 1747 a expressão eiθ = cosθ + i senθ, da qual obteve como caso particular a espantosa relação eΠi = -1 que relaciona numa mesma expressão os números e, i, θ, Π, que apareceram na nossa história em contextos muito diferentes.
A consideração de números complexos não só se revelou necessária para resolver certas equações polinomiais de segunda ordem como forneceu todas as possíveis soluções de equações polinomiais de qualquer ordem, tanto de coeficientes reais como complexos. Este fato, conhecido por "teorema fundamental da álgebra", foi estabelecido pela primeira vez por C.F. Gauss, em 1816, na sequência de tentativas de vários matemáticos precedentes.
Deve-se também a Gauss a designação "número complexo" e a idéia da relação biunívoca entre números complexos e pontos de um plano, o que permitiu uma definição concreta destes números e abriu caminho ao desenvolvimento do estudo dos números complexos e das funções complexas.
Entretanto, a representação geométrica dos números complexos num plano apareceu também nos trabalhos de C. Wessel, em 1799, e de J. Argand, em 1806, embora tenha passado despercebida aos matemáticos do tempo e não tenha sido explorada para prosseguir o estudo dos números complexos. Finalmente, Gauss comunicou publicamente a identificação dos números complexos com pontos de um plano num seu artigo de 1831, onde propôs definir os números complexos como pares ordenados de números reais com certas propriedades específicas e explorou esta definição e a sua identificação com pontos de um plano. A notação (a,b) para números complexos foi usada pela primeira vez por W.R. Hamilton, em 1837.
1-O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: R=15-10i+21i-14i2 15+11i+14 29+11i 2-Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a: R=(1-i)²-1+i+1 1-2i+i²+i -i 3-Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i100 é: R=i10>10/4 sobra 2=i2 1100>100/4 sobra 0=i0 i2+i0 -1+1 0 4-Calcule m de modo que o complexo z = (m2 – 9) + (m + 3)i seja imaginário puro. R=m2-9=0 m2=9 m=-+ 3 S{3} 5-Sendo z = 2 – 6i, calcule o conjugado. R=O conjugado é 2+6i
►Ponto Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ... Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano: • Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência: A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência: A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão: v β ; r β ; t β ; s β
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
POLÍGONO
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.
poligono
TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.
Numeros complexos O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo. Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 . Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z. Exemplos: z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4 z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2 A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma: x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau) x² = –81 x = ±√–81 Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81 x = ±9i
A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema. A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1 Princípios básicos da geometria:Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem deReta: fio esticado, lados de um quadro, ...finição. Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ... Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ... aluna:sabrina cândido da costa serie:9 ano 4
a matematica é traiçoeira
ResponderExcluirQuantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
ResponderExcluirNúmeros Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )
James Mendes de Castro,3º ano II,manhã!
Números Complexos :
ResponderExcluirChama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
01º) (5,3)=5+3i
02º) (2,1)=2+i
03°) (-1,3)=-1+3i
04°) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
05º) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
06º) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
Ytalo Dos Santos Rocha
3° ano 2 | n° 36
Números Complexos
ResponderExcluir1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi
onde a e b são números reais e i2 = -1.
No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i
parte real 2
parte imaginária 5
i
parte real
parte imaginária
12i
parte real 0
parte imaginária 12
-9
parte real -9
parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.
Aritmética dos números complexos
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i
= - 4 + 12i
Na prática, fazemos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Na prática fazemos
(-5 + 6i)
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i2 = - 1
Exemplos
= 6 – 8i + 9i – 12i2
Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1)
-8i + 9i = i e i2 = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i
= – 8 – 4i + 4i + 2i2
Distributiva
= – 8 + 2 . (-1)
-4i + 4i = 0 e i2 = - 1
= – 8 – 2
= – 10
= – 3i . (4) – 3i . (-2i)
= - 12i + 6i2
= - 12i + 6 . (-1)
= - 6 - 12i
Aluno: Hiago Santana do 3°ano "2" E.M
Miller Naftaim 29 3° ano 2
ResponderExcluirJeane Barbosa 17
Número complexo
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z [1].
O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre como sobre .
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por
.
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
1. Calcule as seguintes somas:
a) (2 + 5i) + (3 + 4i)
b) i + (2 - 5i)
2. Calcule as diferenças:
a) (2 + 5i) - (3 + 4i)
b) (1 + i) - (1 - i)
3. Calcule os seguintes produtos:
a) (2 + 3i) (3 - 2i)
b) (1 + 3i) (1 + i)
4. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:
a) 3 + 4i
b) -3 + i
c) 1 - i
d) -2 � 5i
5. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:
a) 3 + 4i
b) 1 - i
c) �3 + i
d) �2 �5i
6. Efetue as seguintes divisões de números complexos:
a) (-10 + 15i) / (2 � i)
b) (1 + 3i) / (1 +i)
Exercícios Resolvidos:
ResponderExcluir1- Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
2- Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
3- Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
4 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
5 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
6 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z
Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y,
z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações
dadas a seguir (2) a (5).
(2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número
real x;
(0, 1) = i é chamado de unidade imaginária;
(x, y) representam a parte real e a parte imaginária,
isto é, R(z) = x e Y(z) = y.
(3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2
Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então
(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)
(5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)
(6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi
Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como:
(x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i
Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)
Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12
Solução:
z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)
z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3)
z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)
Nomes:Cynthia e thamires
Katiane ama itinhoo´poor:thamires avila
ResponderExcluirLívia Correia e Raynara Ferreira
ResponderExcluir3º II
Conceito
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z.
O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre como sobre .
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por
.
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Exercícios
1º Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.
Resposta: -1 – i
2º FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
Resposta: A
3º Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15,
calcule Im(z).w + Im(w).z .
Resposta: -3 + 18i
4º UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
Resposta: -2 + 18i
5º Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200.
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100. 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e, portanto um número real. Daí concluiu que a sua parte imaginária é zero.
6º Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade. • Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
ResponderExcluir• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac – bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.
Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i =
Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.
Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.
• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d
Conjugado de um número complexo. ( )
Se z = a + bi então = a – bi
Questões:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
4- Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Solução : Efetuando a divisão,
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
5 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
6 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Otilya Costta e Paula Maria *--*
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1. Os números x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z [1].
ResponderExcluirO conjunto dos números complexos, denotado por \mathbb{C}, contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre \mathbb{C} como sobre \mathbb{R}.
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra i\,\! pela letra j\,\!, devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
Adrielly Viana e Mariana Matos
-Abraços e Milhões de Beijinhos
3° ANO II
Questões
ResponderExcluir1-Determine K e M para que (2 +m)(1 + i) = K - 2i
(2 +m)(1 + i) = K - 2i
2 + 2i + m + mi = K - 2i --- aplicando a distributiva no primeiro membro
(2 + m) + (2 + m)i = K - 2i ----- agrupando os termos do primeiro membro em parte real e imaginária.
Como temos uma identidade na última linha, temos que igualar a parte real do primeiro membro, (2 + m), à do segundo, k, e igualar a parte imaginária do primeiro membro, (2 + m)i, à do segundo, -2i.
Assim, fica:
2 + m = -2 -> m = -4.
e
2 + m = K --> k = -2.
Portanto, k = -2 e m = -4.
2-Sendo Z1=4+5i e Z2 = -3-6i calcule 2 Z1 - 3 Z2
Z1 = 4 + 5i e Z2 = -3 - 6i, então 2Z1 - 3Z2 = 2(4 + 5i) - 3(-3 - 6i) = 8 + 10i + 9 + 18i = 17 + 28i
3-Calcule o valor da expressão Y=i+i²+i³+i4+ i+.........+ i (elevado)1001
Nesta, temos que usar a propriedade circular da unidade imaginária em relação à potenciação: iˆ1 = i, iˆ2 = -1, iˆ3 = -i, iˆ4 = 1, repetindo-se ciclicamente a cada quatro grupos, de forma que iˆ(4n + 1) = i, iˆ(4n + 2) = -1, iˆ(4n + 3) = -i e iˆ(4n + 4) = 1, n inteiro. Sabemos que a soma i + iˆ2 + iˆ3 + iˆ4 é nula. Assim, todas as somas seguinte agrupadas em quatro elementos também o serão. Batsa, então que determinemos o quantos grupameentos existem em 1001 elementos. Isso dá 250. O que significa que resta apenas o iˆ1001 = iˆ(4*250 + 1), que, pela propriedade, vale i.
Portanto, a soma Y procurada é igual a i. Y = i
4-Resolva a equação X² + 2x + 5 = 0 no conjunto dos números complexos.
Precisamos encontrar o determinante D. Aplicando a formuleta D = bˆ2 - 4*a*c temos D = 2ˆ2 - 4*1*5 = -16. Com D < 0, as soluções x1 e x2 da equação serão complexas e calculadas por x1 = (-2 + Dˆ0,5)/2a e x2 = (-b - Dˆ0,5)/2a. Assim,
x1 = (-2 + 4*i)/2 = -1 + 2*i
x2 = (-2 - 4*i)/2 = -1 - 2*i.
x1 e x2 formam um par de complexos conjugados: -1 + 2*i e - 1 - 2*i, que são as soluções da equação.
5-Determine M, tal que Z= (M+2) + (M² - 4)i seja real e não nulo.
Aqui p = M + 2 e q = Mˆ2 - 4. Como a imposição é que o número z seja real não nula, então devemos ter Mˆ2 - 4 = 0, para eliminarmos a parte complexa, e, além disso, devemos ter M + 2 = 0, para que z seja nula. Da primeia, retira-se que M = 2 ou M = -2. E da segunda, tem-se que M = -2. Segue-se que apenas a solução M = -2 satisfaz às condições.
Assim, M = -2 é a resposta.
6-Calcule as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
Resposta Final Será: 3 - 2i; -3 + 2i
Questões elaboradas por Adrielly Viana e Mariana Matos do 3°ano II
Números Complexos
ResponderExcluirDefinição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
3)Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
4) Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Poor:Katiane Menezes do 3 ano 2
Trabalho Avaliativo de Matemática
ResponderExcluirNúmeros Complexos
Definição:
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = a + b i.
Onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:a = Re(z) e b = Im(z.
Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.
Questões:
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
Resposta letra "C"
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
Resposta letra "C"
03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
Resposta: letra "C"
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1
Respota: letra "A"
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:
a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2
Respostas: letra "E"
06. A potência (1 - i )16 equivale a:
a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256
Resposta letra :"E"
João Victor e Gabriela Correa
Numeros complexos
ResponderExcluirO surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144
Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.
x’ = 4 + 3i . e x’’ = 4 – 3i.
Exercicios
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
4 - UEFS-94.1 - A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5
resposta: A
5- FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
resposta: A
6 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
resposta: E
Dupla: Livia Silva, 26 e Ellen Paula, 07. 3º ano II
Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = − 1.
ResponderExcluirQuestões:
01.O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
R.: 29+11I
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
R.: I-1
03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?
R.:3
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
R.: zero
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:
R.: i/2
06. A potência (1 - i )16 equivale a:
R.: 256
Ariana Mayara e Luciana Costa
Números Complexos
ResponderExcluirChama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2.
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
letra:C
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
letra:C
03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
Letra: C
04. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
letra: E
05. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:
a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5
letra: D
06. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
resposta : 3 - 2i; -3 + 2i
Ricardo Gomes e Karol dos Anjos ;
Introdução aos números complexos
ResponderExcluirOs números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à resolução de equações polinomiais do tipo x2 + 1 = 0. Como os quadrados de números reais são sempre maiores ou iguais a zero, esta equação não tem soluções reais. Resolvê-la corresponde a introduzir números que sejam raízes quadradas de números reais negativos. A primeira referência a esta possibilidade parece ser de H. Cardano, em 1545. Foi seguida, em 1572, pela exposição das propriedades algébricas destes números por R. Bombelli, que também introduziu o símbolo √-1. Em 1748, L. Euler designou este símbolo, a que se chamou "unidade imaginária", por i. Foi também Euler que introduziu em 1747 a expressão eiθ = cosθ + i senθ, da qual obteve como caso particular a espantosa relação eΠi = -1 que relaciona numa mesma expressão os números e, i, θ, Π, que apareceram na nossa história em contextos muito diferentes.
A consideração de números complexos não só se revelou necessária para resolver certas equações polinomiais de segunda ordem como forneceu todas as possíveis soluções de equações polinomiais de qualquer ordem, tanto de coeficientes reais como complexos. Este fato, conhecido por "teorema fundamental da álgebra", foi estabelecido pela primeira vez por C.F. Gauss, em 1816, na sequência de tentativas de vários matemáticos precedentes.
Deve-se também a Gauss a designação "número complexo" e a idéia da relação biunívoca entre números complexos e pontos de um plano, o que permitiu uma definição concreta destes números e abriu caminho ao desenvolvimento do estudo dos números complexos e das funções complexas.
Entretanto, a representação geométrica dos números complexos num plano apareceu também nos trabalhos de C. Wessel, em 1799, e de J. Argand, em 1806, embora tenha passado despercebida aos matemáticos do tempo e não tenha sido explorada para prosseguir o estudo dos números complexos. Finalmente, Gauss comunicou publicamente a identificação dos números complexos com pontos de um plano num seu artigo de 1831, onde propôs definir os números complexos como pares ordenados de números reais com certas propriedades específicas e explorou esta definição e a sua identificação com pontos de um plano. A notação (a,b) para números complexos foi usada pela primeira vez por W.R. Hamilton, em 1837.
1-O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
R=15-10i+21i-14i2
15+11i+14
29+11i
2-Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
R=(1-i)²-1+i+1
1-2i+i²+i
-i
3-Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i100 é:
R=i10>10/4 sobra 2=i2
1100>100/4 sobra 0=i0
i2+i0
-1+1
0
4-Calcule m de modo que o complexo z = (m2 – 9) + (m + 3)i seja imaginário puro.
R=m2-9=0
m2=9
m=-+ 3
S{3}
5-Sendo z = 2 – 6i, calcule o conjugado.
R=O conjugado é 2+6i
6-Calcule i13.
R=13/4 sobra 1 i1=i
Fábio Henrique e Jéssika Silva
Na matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
ResponderExcluir►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
►Ponto
ResponderExcluirNa matemática ponto não tem uma definição, mas é representado por letras maiúsculas: A, B, C,D, ... , Z), Veja alguns exemplos:
A, B e P representam pontos.
►Reta
Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas (a, b, .... , r, s, t, .....,z), e em suas extremidades temos setas, pois a reta é infinita para os dois sentidos.
• Para fazermos a relação de ponto e reta usamos a relação de pertinência:
A t (A pertence a t)
Encontramos retas em algumas coisas do nosso cotidiano: como o encontro de duas paredes, lado de uma mesa, cabo de vassoura, são aproximações grosseiras de retas, mas que nos ajuda a visualizar melhor.
Além de usarmos as letras minúsculas na representação das retas, podemos utilizar os seus pontos na sua representação:
Temos no exemplo acima uma reta a letra que a representa é t. Pertencem a reta t os pontos A e G, então podemos fazer uma outra representação para a reta t:
-------- sempre em cima dos pontos deve ser colocado uma reta com duas setas
pois a reta pode ser prolongada nos dois sentidos.
►Plano
Para diferenciarmos a representação do plano com a representação da reta, a sua representação ficou com letras minúsculas, mas do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), ...
Como a reta o plano também é infinito.
Em um plano β estão contidas retas e tem pontos que pertencem a esse mesmo plano:
• Para fazermos uma relação entre ponto e reta utilizamos a relação de pertinência:
A r ; B s ; C t ; D v ; E r
• Para fazermos uma relação entre ponto e plano utilizaremos a relação de pertinência:
A β ; B β ; C β ; D β ; E β
• Para fazer a relação entre reta e plano, utilizamos a relação de inclusão:
v β ; r β ; t β ; s β
GEOMETRIA PLANA
ResponderExcluirA Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
POLÍGONO
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.
poligono
TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.
Anônimo disse...
ResponderExcluirNumeros complexos
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144
Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.
x’ = 4 + 3i . e x’’ = 4 – 3i.
41842
ResponderExcluirA geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
ResponderExcluirA geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.[1
Princípios básicos da geometria:Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem deReta: fio esticado, lados de um quadro, ...finição. Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ... Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
aluna:sabrina cândido da costa serie:9 ano 4
eu quero mais é resultadoooooo. :)
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